Mesures de probabilité (suite)

1. Interprétation de la notion de probabilité

Q : que représente $P(E)$ ?

En simplifiant : deux points de vue.

a)a) Point de vue « fréquentiste »

• $(\Omega, \cA, P)$ modélise une « expérience aléatoire » que l’on pourrait répéter (au moins en principe) à l’identique.

• Soit $E \in \cA$ un événement.

• Pour $n$ répétitions, on note

  $k_n$ = nombre de répétitions où $E$ est réalisé.

• Loi des grands nombres :

  proportion, ou « fréquence » de $E$

  $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \htmlClass{annot-rouge}{\frac{k_n}{n}}$ existe, et ne dépend que de $E$

  $\rightarrow$ c’est la probabilité $P(E)$.

b)b) Point de vue « bayésien » ou « subjectif »

$P(E)$ = degré de croyance

Lien avec la notion de pari

• On imagine un pari / investissement risqué :

Q : jusqu’à quelle mise $p$ suis-je prêt à jouer ?

$\rightarrow$ On appelle $P(E)$ cette valeur.

2. Mesures de probabilité sur $\R$

Dans cette partie :

• $\Omega = \R$
• $\cA = \cB(\R)$ = tribu contenant les intervalles

Problème : pour définir une mesure de probabilité $P$, il faudrait donner $P(E)$ pour tout événement $E \in \cA$.

$\rightarrow$ Comment faire ?

$\Rightarrow$ Il peut arriver que $P(\{x\}) = 0$ pour tout $x \in \R$.