Cours 1

Introduction aux probabilités

1) Origine

Étude des jeux de hasard, attribuée à Blaise Pascal et Pierre de Fermat (1654).
Forme « moderne » de la théorie : Émile Borel (1909) / Andreï Kolmogorov (1933).
Kolmogorov (1933) introduit la notion d’espace probabilisé $(\Omega, \cA, P)$ :

$\Omega$ : « univers des possibles » (ensemble non vide)

Les éléments $\omega \in \Omega$ se nomment éventualités.

Exemple 1

Tirage de 2 dés

\displaystyle \begin{aligned} \Omega &= \{(i, j) \mid 1 \le i, j \le 6\} \\ &= \{1, \dots, 6\} \times \{1, \dots, 6\} \end{aligned}

$\omega \in \Omega$ est un couple d’entiers.

Exemple 2

Nombre de cyberattaques subies par un serveur l’année $N+1$

$\Omega = \N$ (entiers)

$\omega \in \Omega$ est un entier quelconque.

Exemple 3

Hauteur maximale de crue sur l’année $N+1$ , en mètres

$\Omega = \R$ ou $\R_+$

$\omega \in \Omega$ est un nombre réel.

$\cA$ : ensemble des événements (« tribu ») que l’on veut considérer

Un événement $E \in \cA$ est un ensemble d’éventualités, donc un sous-ensemble de $\Omega$ .

Exemple 2 (suite)

$E_1 = \{0\} =$ « pas de cyberattaque »

$E_2 = \overline{E_1} = \{1, 2, 3, \dots\} =$ « au moins 1 cyberattaque »

Exemple 3 (suite)

$E = [10, 20] =$ « hauteur de crue entre 10 et 20 m »

$P$ : mesure de probabilité, fonction

\displaystyle \begin{aligned} P : \cA &\to [0, 1] \\ E &\mapsto P(E) \end{aligned}

attribuant à chaque événement $E \in \cA$ sa probabilité $P(E) \in [0, 1]$ .

$\cA$ et $P$ doivent vérifier des conditions (« axiomes » de la théorie des probabilités).

2)2) Ensemble des événements (« tribu »)

a. Événements remarquables

Def

On appelle :

impossible : l’événement $E = \vide$ (ensemble vide)
certain : l’événement $E = \Omega$ (ensemble des possibles)

b. Opérations sur les événements et opérations logiques associées

Opération logique	Opération sur les ensembles	Traduction ensembliste
Négation $\text{«}\,\soul{non}\ E\,\text{»}$	Complémentaire	$\overline{E} = \{\omega \in \Omega \mid \omega \notin E\}$ $\mid$ : tel que
Conjonction $\text{«}\,E_1 \ \soul{et}\ E_2\,\text{»}$	Intersection	$E_1 \cap E_2$ $= \{\omega \in \Omega \mid \omega \in E_1 \ \soul{et}\ \omega \in E_2\}$
Disjonction $\text{«}\,E_1 \ \soul{ou}\ E_2\,\text{»}$	Union	$E_1 \cup E_2$ $= \{\omega \in \Omega \mid \omega \in E_1 \ \soul{ou}\ \omega \in E_2\}$ ou inclusif

Remarque : on peut faire des conjonctions / disjonctions infinies :

$E_1$ ou $E_2$ ou $E_3$ …
$E_1$ et $E_2$ et $E_3$ …

Exemple

$\Omega = \N$

\displaystyle \begin{aligned} E &= \{\omega \in \N \mid \omega \text{ est pair}\} = \{0, 2, 4, \dots\} \\ E_n &= \{n\} \\ E &= E_0 \cup E_2 \cup E_4 \cup \dots \end{aligned}

Prop« Lois de De Morgan »

$\overline{E_1 \cap E_2} = \overline{E_1} \cup \overline{E_2}$
$\overline{E_1 \cup E_2} = \overline{E_1} \cap \overline{E_2}$

c. Exemples d’ensembles $\cA$

① Tribu discrète

Def

$\cA$ est la tribu discrète si elle contient tous les sous-ensembles de $\Omega$ .

Exemple

$\Omega = \{1, \dots, 6\} \times \{1, \dots, 6\}$ : tirage de deux dés

Exemple d’événement : « le deuxième dé donne 6 »

\displaystyle E = \{(1, 6), (2, 6), \dots, (6, 6)\}

Q : combien d’événements peut-on énumérer ici ?

\displaystyle \operatorname{card}(\cA) = 2^{36} = 68\,719\,476\,736

Exemple

$\Omega = \N$ : nombre d’écureuils rencontrés en promenade

$E_1 =$ « j’observe au moins 2 écureuils » $= \{2, 3, 4, \dots\}$

$E_2 =$ « j’observe un nombre pair d’écureuils » $= \{0, 2, 4, \dots\}$

$E_1 \cap E_2 = \{2, 4, 6, \dots\}$

② Tribu borélienne

On considère $\Omega = \R$ .

Sur un ensemble aussi « gros » que $\R$ : impossible en général de travailler avec tous les sous-ensembles (tribu discrète).

Pseudo-def

On appelle tribu borélienne les sous-ensembles « utiles » de $\R$ .

On la note $\cB(\R)$ .

En particulier, les intervalles sont dans $\cB(\R)$ : $[a, b]$ , $[a, b[$ , …

d. Événements incompatibles

Def

Des événements $E_1$ et $E_2$ seront dits incompatibles si

\displaystyle \underbrace{E_1 \cap E_2}_{\htmlClass{annot-vert}{\text{«}\,E_1 \text{ et } E_2\,\text{»}}} = \underbrace{\vide}_{\htmlClass{annot-vert}{\text{impossible}}}

(ne peuvent pas se produire en même temps).

Exemple

$\Omega = \{1, 2, \dots, 6\} \times \{1, \dots, 6\}$

$E_1 =$ « la somme est paire »

$E_2 =$ « la somme vaut 7 »

$\Rightarrow E_1 \cap E_2 = \vide$

3) Mesures de probabilité

a. Définition

Rappel :

$\Omega$ = univers
$\cA$ = ensemble des événements

Def

Une mesure de probabilité sur $(\Omega, \cA)$ est une fonction

\displaystyle \begin{aligned} P : \cA &\to [0, 1] \\ E &\mapsto P(E) \end{aligned}

telle que

$P(\vide) = 0$
$P(\Omega) = 1$
pour toute suite d’événements $E_0, E_1, E_2, \dots$ deux à deux incompatibles,
σ-additivité
$\displaystyle P(\underbrace{E_0 \cup E_1 \cup E_2 \cup \dots}_{\text{« l'un des } E_n \text{ est vrai »}}) = P(E_0) + P(E_1) + \dots$

b. Additivité et conséquences

Prop

Si $E_1, \dots, E_N$ sont des événements deux à deux incompatibles, alors

\displaystyle P(E_1 \cup \dots \cup E_N) = P(E_1) + \dots + P(E_N)

Démo

Complétons la liste d’événements :

$\displaystyle E_{N+1} = E_{N+2} = \dots = \vide$
On applique la σ-additivité :

$\displaystyle P(\underbrace{E_1 \cup E_2 \cup \dots}_{E_1 \cup \dots \cup E_N}) = \underbrace{P(E_1) + P(E_2) + \dots}_{P(E_1) + \dots + P(E_N)}$

Conséquence n°1 : probabilité d’un événement complémentaire

\displaystyle \htmlClass{encadre}{\boxed{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}}

En effet : $E \cup \overline{E} = \Omega$ et $\htmlClass{encadre}{\boxed{E \cap \overline{E} = \vide}}$ incompatibles

\displaystyle P(E) + P(\overline{E}) = P(E \cup \overline{E}) = P(\Omega) = 1

Conséquence n°2 : monotonie

Si $E_1 \subset E_2$ , alors $P(E_1) \le P(E_2)$

$\subset$ : est inclus ; « $E_1$ entraîne $E_2$ », « $E_1$ implique $E_2$ »

\displaystyle P(E_2) = P(E_1) + \underbrace{P(E_2 \setminus E_1)}_{\ge 0}

Exemple

$\Omega = \R_+$ : temps d’attente

$E_1 = [10, +\infty[ \; =$ « 10 min ou plus »

$E_2 = [20, +\infty[ \; =$ « 20 min ou plus »

Ici $E_2 \subset E_1$ : « $E_2$ implique $E_1$ »

donc $P(E_2) \le P(E_1)$ .

c. Principe d’inclusion-exclusion

Corriger un double comptage

\displaystyle P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)

Justification : en exercice.

d. Premiers exemples de probabilités

① Univers fini

\displaystyle \begin{aligned} \Omega &= \{\omega_1, \dots, \omega_N\} \\ \cA &= \text{tribu discrète} \\ &= \text{tous les sous-ensembles} \end{aligned}

Thm

Une mesure de probabilité $P$ sur $\Omega$ fini est entièrement définie par les probabilités des événements élémentaires :

\displaystyle p_n = P(\{\omega_n\}), \quad 1 \le n \le N,

qui vérifient :

$p_n \in [0, 1]$ pour tout $n$ ,
$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} p_n = 1$ .

Exemple : loi uniforme discrète

\displaystyle p_n = \frac{1}{N} \quad \to \text{« équiprobables »}

Pour un événement $E \subset \Omega$ quelconque :

$P(E) =$ somme des $p_n$ pour tous les $\omega_n$ tels que $\omega_n \in E$ .

② Univers $\Omega$ infini dénombrable

\displaystyle \Omega = \{\omega_0, \omega_1, \omega_2, \dots\}

infinité d’éventualités que l’on peut numéroter

Thm

Pour définir une probabilité sur $\Omega$ , il suffit de donner les probabilités des événements élémentaires :

\displaystyle p_n = P(\{\omega_n\}), \quad n = 0, 1, 2, \dots

Elles doivent vérifier :

$p_n \ge 0$ pour tout $n$ ,
$\underbrace{p_0 + p_1 + \dots}_{\sum_{n=0}^{+\infty} p_n} = 1$ .

Exemple

Lancer répété d’un dé $\rightarrow$ nombre de lancers avant de voir apparaître un 6 ?

\displaystyle \Omega = \N, \qquad \allowbreak p_n = \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^n, \quad \allowbreak n = 0, 1, 2, \dots

$\rightarrow$ Cette mesure de probabilité s’appelle « loi géométrique » de paramètre $\frac{1}{6}$ .

Rappel : pour $x \in \,]0, 1[$ ,

\displaystyle 1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{1}{1 - x}

On a bien ici

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} p_n = \frac{1}{6} \cdot \bigg[1 + \frac{5}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^3 + \dots\bigg] = \frac{1/6}{1 - \frac{5}{6}} = 1

1) Origine

2)2) Ensemble des événements (« tribu »)

a. Événements remarquables

b. Opérations sur les événements et opérations logiques associées

c. Exemples d’ensembles A\cAA

① Tribu discrète

② Tribu borélienne

d. Événements incompatibles

3) Mesures de probabilité

a. Définition

b. Additivité et conséquences

c. Principe d’inclusion-exclusion

d. Premiers exemples de probabilités

① Univers fini

② Univers Ω\OmegaΩ infini dénombrable

c. Exemples d’ensembles $\cA$

② Univers $\Omega$ infini dénombrable